通俗易懂的小波分析（小波函数的小波分析）

本文目录

• 小波函数的小波分析
• 小波分析指什么
• 小波分析的特点：时域都具有紧支集是什么意思直流分量为0是什么意思
• 如何学习小波分析
• 小波分析的分析方法
• 小波分析的介绍
• *小波分析方法

小波函数的小波分析

小波一词由 Jean Morlet 和 Alex Grossman 在 1980年代 早期建立。他们用的是 法语 词ondelette - 意思就是小波。在英语里，后来将o de变为wave而成了wavelet。小波变换分成两个大类：离散小波变换 (DWT) 和 连续小波变换 (CWT）。两者的主要区别在于，连续变换在所有可能的缩放和平移上操作，而离散变换采用所有缩放和平移值的特定孠集。小波理论和几个其他课题相关。
有小波变换可以视为 时域频域表示 的形式，所以和 调和分析 相关。所有实际有用的离散小波变换䠿用包含 有限脉冲响应 滤波器的滤波器段（filterbank）。构成CWT块小波受海森堡的测不准原理制约，或者说，离散小波基可以在测不准原理的其他形式的上下文中考虑。 简单来说（技术上有错），母小波函数ψ(t)必须满足下列条件：
∫│ψ(t)│^2 dt=1(积分区间负无穷到正无穷）。也即 ψ《^2。
并单位化∫│ψ(t)│dt=∞(积分区间负无穷到正无穷）。也即 ψ《L(R)。
∫ψ(t)dt=0(积分区间负无穷到正无穷）。
多数情况下，需要要求ψ连续且有一个矩为0的大整数M，也即对所有整数m《M。
∫t^m·ψ(t)dt=0(积分区间负无穷到正无穷）。
这表示母小波必须非0且均值为0。
技术上来讲，母小波必须满足可采纳性条件以使某个分辨率的恒等成立。
母小波的一些例子：
【待添加】
母小波缩放（或称膨胀）a倍并平移b得到（根据Morlet的原始形式）：
ψa,b(t)=ψ/a^0.5
这些函数常常被错误的称为变换的埠函数。实际上，没有基函数存在。时域频域解释要用一个稍有区别的表述（由D lprat给出）。 小波只有时域表示，作为小波函数\psi (t). 例如墨西哥帽小波。

小波分析指什么

信号分析一般是为了获得时间和频率域之间的相互关系。 傅立叶变换提供了有关频率域
的信息，但时间方面的局部化信息却基本丢失。与傅立叶变换不同，小波变换通过平移母小
波(mother wavelet)可获得信号的时间信息，而通过缩放小波的宽度(或者叫做尺度)可获得信
号的频率特性。对母小波的缩放和平移操作是为了计算小波的系数，这些系数代表小波和局
部信号之间的相互关系。
傅立叶分析是把一个信号分解成各种不同频率的正弦波， 因此正弦波是傅立叶变换的基
函数。同样，小波分析是把一个信号分解成将原始小波经过移位和缩放之后的一系列小波，
因此小波同样可以用作表示一些函数的基函数。可以说，凡是能够用傅立叶分析的函数都可
以用小波分析， 因此小波变换也可以理解为用经过缩放和平移的一系列函数代替傅立叶变换
的正弦波。

小波分析的特点：时域都具有紧支集是什么意思直流分量为0是什么意思

当一个函数展开为有无穷多个非零项的小波级数时（就类似于傅立叶级数的展开），我们是无法计算的，这时就必须想法截断，把无穷变为有穷，想到的方法是使函数只在有限的区间上的值不为零，在有限的区间外恒等于0或很快趋近于0，这就叫紧支集的函数。小波名称中的“小”就是此意，可以看到其波形都是很快由大的值向两边快速衰减为0的。紧支性越强，小波函数衰减的越快，直观表现就是这个小波函数在横轴上占的宽度越窄。紧支性越强的小波基局部性越好，越能检测信号中微小的信息。

直流分量在电流的研究中认为，电流的作用一般是看做直流分量和交流分量的叠加，那一部分可以认为是不变的量就是直流分量，引申到信号中可以认为是平均值。小波名称中的“波”意思就是幅值在正负交替振荡的波。由小波的允许条件的引申可以得出紧支集的小波函数的积分为0，即由函数曲线与横轴围成的面积是上下相等，如果面积符号可以取正负，那么上下面积抵消为0，则平均值也为0，那么按照信号研究中意思就是直流分量为0.

如何学习小波分析

自从念硕士时开始接触小波分析到现在,已经和小波打交道整整十年了.想谈一些个人的体会.
想要把小波理解透彻,《《实变函数和《《泛函分析是必不可少的,,
《《实变函数主要研究广义区间上的积分,特别是平方可积函数空间的积分,而小波分析则主要研究平方可积函数空间中的小波的构造和应用,
小波大都是在广义积分的框架上来讨论问题的.
再说《《泛函分析,它主要研究某类元素具有特殊结构的集合以及它们之间的关系.用数学语言来说就是空间和算子.
狭义上讲,小波是平方可积函数空间到自身的一种变换,或者叫映射,当然你也可以叫它算子. 人们常常把小波分析叫做小波变换,
它的很多性质都是算子性质的特例.
由于小波分析是在《《傅立叶分析的基础上发展起来的,因此,掌握了《《傅立叶变换的知识也是必要的,小波的很多性质是通过频域来刻画的.我觉得有这些知识,学习小波就基本够用了.

小波分析的分析方法

小波分析的应用是与小波分析的理论研究紧密地结合在一起地。它已经在科技信息产业领域取得了令人瞩目的成就。 电子信息技术是六大高新技术中重要的一个领域，它的重要方面是图像和信号处理。现今，信号处理已经成为当代科学技术工作的重要部分，信号处理的目的就是：准确的分析、诊断、编码压缩和量化、快速传递或存储、精确地重构（或恢复）。从数学地角度来看，信号与图像处理可以统一看作是信号处理（图像可以看作是二维信号），在小波分析地许多分析的许多应用中，都可以归结为信号处理问题。对于其性质随时间是稳定不变的信号，处理的理想工具仍然是傅立叶分析。但是在实际应用中的绝大多数信号是非稳定的，而特别适用于非稳定信号的工具就是小波分析。

小波分析的介绍

小波(Wavelet)这一术语，顾名思义，“小波”就是小的波形。所谓“小”是指它具有衰减性；而称之为“波”则是指它的波动性，其振幅正负相间的震荡形式。与Fourier变换相比，小波变换是时间（空间）频率的局部化分析，它通过伸缩平移运算对信号(函数)逐步进行多尺度细化，最终达到高频处时间细分，低频处频率细分，能自动适应时频信号分析的要求，从而可聚焦到信号的任意细节，解决了Fourier变换的困难问题，成为继Fourier变换以来在科学方法上的重大突破。有人把小波变换称为“数学显微镜”。

*小波分析方法

小波分析方法是近年来发展起来的新的数学方法，小波的概念最早由法国地球物理学家J.Morlet和A.Grossmann在20世纪70年代分析处理地震数据时提出的，广泛应用于信号处理、图像处理、模式识别、地球物理勘探等领域。

长期以来，信号处理中最基本的数学工具是Fourier分析。Fourier分析能有效地分析平稳信号，能通过频谱函数方便地指明平稳信号的主要谐波成分。然而在实际应用中，我们常常需要分析频域特性随时间变化的非平稳信号，如音乐信号、语音信号、地球物理信号等，需要了解某些局部时域信号所对应的频率特性，也需要了解某些频率的信息出现在哪些时间或空间段上。上述情形都提出了关于短时段时域信号所对应的局部频域特性，即时-频局部化的要求。

为了克服Fourier变换在时-频局部化方面的不足，D.Gabor提出了窗口Fourier变换（简记为WFT）方法。WFT在Fourier分析的基础上取得了进步，用WFT分析信号可在时-频窗这个局部范围内观察信号；但是WFT无法使时-频窗形状是自适应变化的，即对低频信号，其窗口形状自动变得扁平，对高频信号，其窗口形状自动变得瘦长。小波变换可以克服WFT的这一缺点。

连续小波变换定义为

地球物理勘探概论

设定

地球物理勘探概论

则称函数系ψ_a，b（t）为小波函数或简称为小波（Wavelet），它是由函数ψ（t）经过不同的时间尺度伸缩和不同的时间平移得到的。式（3-7-30）中的R表示实数域；ψ（t）称为母小波；a是时间轴尺度伸缩参数，大的a值对应于小的尺度，相应的小波ψ_a，b（t）伸展较宽；反之，小的a值对应的小波在时间轴上受到压缩；b是时间平移参数，不同b值的小波沿时间轴移动到不同位置。系数｜a｜ 是归一化因子，它的引入是为了使不同尺度的小波保持相等的能量。

一个函数ψ（t）能够作为母小波，必须满足：

地球物理勘探概论

该式的物理意义是：ψ（t）是一个振幅衰减得很快的“波”，“小波”即由此得名。

连续小波变换可以看成是连续变化的一组短时傅里叶变换的汇集，这些短时傅里叶变换对不同的信号频率使用了宽度不同的窗函数。具体来说，即高频用窄时域窗，低频用宽时域窗。小波变换具有的这一宝贵性质称为“变焦距”性质。

小波变换是重磁异常分解的有效工具，利用小波多尺度分析方法，可以将重磁异常分解到不同尺度空间中，不同尺度的重磁异常反映了不同地质体的规模和埋深。作为一种新而有效的位场分离途径，小波多尺度分析方法为重磁资料解释和研究地壳提供了新的思路，在国内外得到了广泛的应用。侯遵泽、杨文采等（1995，1997）对中国大陆布格重力异常进行了小波多尺度分解，得到中国大陆地壳内及上地幔各种尺度成分意义下密度不均匀分布情况。高德章等（2000）采用二维小波多尺度分解技术，对东海及邻区自由空间重力异常进行分解，得到了沉积基底面和莫霍面产生的重力异常，所得到的四阶小波细节与东海陆架沉积盆地及邻区沉积基底面的起伏具有较好的一致性。

小波多尺度分析又称多分辨分析，它把一个信号分解为逼近部分和细节部分，表示为 ，A_i是逼近部分，D_j细节部分。图3-7-11为三层多尺度分析结构图，其中，S是信号，A₁、A₂、A₃是逼近部分，D₁、D₂、D₃是细节部分。

图3-7-11 三层多尺度分析结构图

把图3-7-11 多尺度分析方法应用于磁测资料处理，野外观测值ΔT经一阶小波分解，得到局部场ΔT_局1和区域场ΔT_区1，把 ΔT_区1作二阶小波分解得到ΔT_局2和ΔT_区2，再把ΔT_区2作三阶小波分解可得ΔT_局3和ΔT_区3…还可以继续分解。根据异常的特征和地质情况来决定分解到几阶，解释时要赋予小波逼近部分和各阶的细节明确的地质意义。

地球物理勘探概论

把大冶铁矿ΔZ磁异常［图3-7-12（a）］用多尺度分析方法分解为1～5阶细节和5阶逼近，用谱分析方法得出一阶细节场源似深度26m［图（b）］，局部异常反映露天矿及浅表磁性不均匀以及人文活动干扰（如铁矿开采、钻探等钢铁制品干扰）。二阶细节场源似深度144m［图（c）］，三阶细节场源似深度235m［图（d）］，反映地表至约200m深铁矿体的磁异常，异常特征为正负伴生，两侧都有负值，表明铁矿体是下延有限的形体。四阶细节场源似深度488m［图（e）］，图中磁异常正负伴生，正异常幅值大于1000nT，两侧有负异常伴生，表明500m左右深仍有磁性强的铁矿体存在。

图3-7-12 大冶铁矿ΔZ磁异常小波多尺度分解

五阶细节场源似深度912m［图（f）］，西段已经看不出明显局部异常，推测在1000m深以下不太可能有铁矿体存在。东段尖山-犁头山在五阶细节上有400nT局部异常，推测该处深部磁性体埋深1000m左右。从异常特征看，东段尖山-犁头山磁性体要比中西段尖林山、龙洞磁性体深。图中西北角的铁门坎区还存在有强度大于800nT没有闭合的正异常，是深部区域场，还是与局部异常有关，尚不清楚其性质。从异常特征看，它与尖山-犁头山段局部异常特征完全不一样。五阶逼近（图未列出）为西南负、东北正的磁场特征，反映大冶铁矿区西南部为无磁性大理岩，而东北部为具磁性的闪长岩体。